7 Haziran 2008 Cumartesi

Bir Olasılık Sorusu

ortaokul ucuncu siniftaydim sanirim. olasilik hesabini ilk ogrendigimiz zamanlar. arka siramda, simdilerde stanford'da muhendislik doktorasi yapan, matematige cok merakli bir arkadasim otururdu. kiz bos zamanlarinda tubitak'in bilim kitaplarini falan okurdu. bir gun, bir yerde okudugu, ilginc bir olasilik sorusunu bize sormustu. bugun internette bir yerde, soruya yine rast geldim.

soru soyle: bir yarisma programinda (ki galiba boyle bir program bir zamanlar gercekten varmis) yarismacilar uc kapidan birini seciyorlarmis. bir kapinin ardinda araba, digerlerinin ardinda ise iki keci varmis. yarismaci secimini yaptiktan sonra, diyelim ki yarismaci a kapisini secsin, hangi kapinin ardinda araba oldugunu bilen sunucu ona bir sans daha veriyormus. ardinda keci olan kapilardan birini, diyelim ki b kapisini, acip iceride araba olmadigini gosteriyormus. sonra da yarismaciya tercihini degistirmek, yani c'yi secmek, isteyip istemedigini soruyormus. bu durumda, yarismaci tercihini degistirirse, yani c'yi secerse, arabayi kazanma olasiligi nedir? degistirmezse, yani a'yi secerse kazanma olasiligi nedir?

cevabi yorum bolumune yazacagim ki, dusunup cevabi kendi bulmak isteyen okurlarimizin gozu kaymasin.

7 yorum:

dr jekyll dedi ki...

cevabi degistirirse kazanma ihtimali 2/3, degistirmezse 1/3.

arkadasim sordugunda, ne var bunda deyip dusunmeden 1/2-1/2 demistim. meger biraz dusunmek lazimmis. baslangicta dogru secim yapma olasiligi ne? 1/3. yani 2/3 olasilikla araba b ya da c'de. sonradan b'de olmadigini ogrendigine gore, c'de olma ihtimali ne? 2/3.

arkadasim bunu boyle anlattiginda biraz duraksamistim. o da bana soyle demisti: ya uc yerine yuz kapi olsaydi ve sunucu arkasi bos olan 98 kapiyi acsaydi?

bu arada sunu da soylemeden gecemeyecegim. bir keresinde, bu hesaba kafasi yatmayan bir arkadasi deney yoluyla ikna etmeye calismistim. yuz sayidan birini tuttu ve bir kagida sayiyi yazdi. sonra ben (atiyorum) 12 dedim. o yuz sayidan 98'ini atip 12 ve (atiyorum) 24 dedi. bende kesin 24'te dedim. kagidi actigimda 12 cikti. yuzde bir ihtimal, ama tutunca da tutuyor. (hemen deneyi tekrar ettim tabii. tesaduf de bir yere kadar.)

joaquinsanchez dedi ki...

bu olayı ilk duyduğumda bana çok saçma ve basit gelmişti, uzun bir süre kabul etmedim; kabullenemedim, ama gerçekten doğru sanırım..

Diyelim ki araba a kapısında olsun.. a'yı seçersek, tahminimizi değiştireceğimizden dolayı kaybedeceğiz.. b veya c'yi seçersek kazanacağız..

Araba hangi kapıda olursa olsun kazanma ihtimalimiz değişmeyecek, bu yüzden oran 2/3..

100 tane sayıyı kullanmak anlamayı daha da kolaylaştırıyor gerçekten..

deneyi kullanıp olayı genelleştirirsek; n adet kapımız var ve biz bir tahminde bulunduktan sonra n-2 adet kapıyı eliyoruz. ilk tahminimizdeki kazanma ihtimalimiz elemeden sonra da sabit kalırken, seçmediğimiz ve elenmemiş olan kapıyı seçtiğimiz takdirde kazanma ihtimalimiz 1-(1/n) gibi yüksek bir değer oluyor..

Blogger dedi ki...

bu problem kevin spacey'nin oynadığı 21 adlı filmde de geçiyor.

umut dedi ki...

Burada bir seçenek elendikten sonra, diğer iki seçeneğin de olasılıkları değişir. Yani bir torbanın içinde 2 kırmızı bir siyah top olsun, bizim problemimiz, torbadan bir kırmızı top çekildikten sonraki torbadan siyah topu çekme ihtimalimize eşit oluyor. O da bu durumda iki olasılığı da değiştiriyor. Yani cevap 1/2 oluyor. Geçmiş deneyimler bu problemde gelecek adımların ihtimalini değiştiriyor. Benim sorudan anladığım bu şekilde. Eğer sorunun orijinal metni varsa onu yayınlarsanız çok sevinirim.

dr jekyll dedi ki...

oyle degil, cunku sizin tarif ettiginiz durumda torbadan rastgele bir top cikardiktan sonra bir top seciyorsunuz. burada once tercih yapiyorsunuz, sonra yanlis oldugu kesin olan bir tercih size gosteriliyor. bu da fazladan bir bilgi sagliyor. burada 2/3 ve 1/3 kosullu olasiliklar. (conditional probability)

google'da "three doors" ve "probability" gibi anahtar kelimelerle aratip bununla ilgili cok sayida materyale erisebilirsiniz.

economic-politics dedi ki...

bu problemin ismi monthy hall dir.meshur olmasinin sebebide dunyanin kayitli en yuksek IQ suna sahip bayan(cok egitimli biride degil) marilyn vos savant la matematik camiasi arasinda tartismalara yol acmasindan dolayi.
http://www.marilynvossavant.com/articles/gameshow.html adresinde detaylari var.sonunda marilyn hakli cikti.

Unknown dedi ki...

Iki oyun kurgusu var:
Non-conditional-
1- secimsiz kurguda kazanma olasiligi 1/3
Conditional-
2- secimli kurguda: 1.asamada kaybetme olasiligi 1/3. 2. Asamada kaybetme olasiligi 1/2. Toplamda kazanma olasiligi 1/2*2/3=1/3

Toplam olasilikta
Degisen birsey yok.

Eger monty oyunun ikinci asamasinda oyundan ayrilabilse kazanma sansi 2/3'tur.

Bir de akcay'a sormak lazim