amerika’ya geldikten sonra turkiye televizyonlarinda yayinlanan programlara epey bir uzak kaldim. bu arada, hala devam edip etmedigini bilmiyorum ama, var misin yok musun diye bir yarisma programinin ortaya ciktigini haberlerden okumustum. gecenlerde youtube’da bu programin gecen sene yayinlanmis bir bolumunden bir kesite rast geldim. kesit, programin final bolumunden. bir yarismacinin onunde bir kutu, kutunun icinde de bir para odulu var. bu odul ya bes bin ya da 500 bin lira. yarismaciya kutudaki odulu acmamasi icin 141 bin lira teklif etmisler. durum bundan ibaret. bundan sonrasi, risk alip almamak konusunda karar vermekte zorlanan kadinin hallerinden turetilen dram uzerine kurulmus bir reality show. sonunda da yarismaci riske girmeyip garanti parayi almayi kabul ediyor.
bu sadece bir bolumun bir parcasi. benzer durumlarda, baska yarismacilar ne kararlar verdiler bilmiyorum; ama tahminim bu durumda cogu insanin ayni karari verecegi. insanin hayatini ciddi sekilde etkileyecek ve kutuda olmasi muhtemel iki odulun ortalamasina yakin sayilabilecek garanti bir miktari reddedip kumar oynamak, cogu insanin yapacagi bir sey degil. bunu nereden cikartiyorum? en basta, dunyada sigortacilik diye bir sektor olmasindan. genel olarak, iktisadi aktorlerin belirsizlik iceren turlu durumlardaki davranislarindan da diyebilirim. yarismanin bir iktisatci olarak dikkatimi cekmesi de bundan.
insanlarin buyuk bir heyecan icerisinde izledikleri sey ozunde bir insanin sigorta hizmeti satin almasindan farkli degil. yarismaci kadinin 500 bin lirasi var gibi dusunun. bunun 5 binlik kismi guvende diyelim. geri kalanin da calinma ihtimali yuzde 50 olsun. bu durumun yarismadaki durumla seklen ayni oldugu acik. bu durumda ele aldigimiz ornekte yarismacinin 349 bin lira sigorta primi odedigini soyleyebiliriz. olaya boyle bakinca, yarismacinin sonradan kutuda 5 bin lira oldugunu ogrendikten sonraki sevincini de parasi calinan insanin sigorta yaptirmasina sukretmesine benzetebiliriz.
peki bu sigorta primi neden bu kadar fahis? ihtimaller yuzde 50-50 ise, yarismadaki durumda kutudan cikacak paranin beklenen degeri odullerin ortalamasi olan 252.500 lira. oysa yarismacinin odedigi prim 349 bin, eline gecen para 141 bin. bunda onemli sebep, teklifi yapan zatin (adi hamdi bey olsa gerek) tekel durumunda olmasi. hamdi bey, tekel durumundaki bir sigorta sirketinin yapacagi gibi, yarismacinin kabul edecegegi en buyuk sigorta primini (yani en dusuk garanti parayi) ona onermeye calisiyor. bu hem kar, hem de yarismaciyi kararsiz birakarak heyecan maksimizasyonunu sagliyor.
hamdi bey'in tekel olmasinin yaninda, yarismacinin orta halli bir vatandas olmasi da onemli bir faktor. karsida mesela rahmi koc olsa muhtemelen sigorta primi cok daha dusuk (garanti para cok daha yuksek) olurdu. peki karsida rahmi koc da olsa, prim 252.500'un altina iner miydi? (yani garanti para bu degerin ustune cikar miydi?) kar maksimizasyonu yapan bir tekel asla bunu yapmazdi. ama bu bir sov programi olduguna ve dagitilan odulun maliyetinden cok izlenme oranlari onemli olduguna gore, eger heyecani arttiracaksa, rahmi koc gibi bir yarismaci karsisinda bu mumkun olabilir.
ya yarismaci siradan bir vatandas olsa, ama hamdi bey'in karsisinda bir de rakip olsa? yarismanin formatinin daha farkli oldugunu dusunelim. diyelim ki iki sigortaci yarismaciya kapali zarf usulu teklifte bulunsun. yarismaci bunlardan sadece birini kabul etsin. teklifi kabul edilen sigortaci yarismaciya garanti parasini verip kutunun icindeki ikramiyeyi satin alsin. yani, sigortacinin kazanci, kutunun icindeki para eksi yarismaciya verdigi garanti para olsun. bu durumda, sigortacilar arasindaki rekabetin sigorta primini dusurup garanti parayi odulun beklenen degerine yaklastirmasini bekleyebiliriz. tabii, bu durum sigortaliya (yani yarismaciya) fayda saglasa da, onun daha rahat karar vermesini saglayacagi icin yarismanin heyecanini, dolayisiyla reytingleri dusurecektir. o yuzden hamdi bey'e bir rakip cikartmak yapimcilarin isine gelmez.
ama ya yarismaya katilacak biri, disaridan bir sigortaciyla buna benzer bir anlasma yaparsa? bu sigortacinin, illa bir sigorta sirketi gibi yasal, kurumsal bir yapi olmasi gerekmez. risk toleransi daha yuksek bir kisi, yarismacilarla anlasma yapip riski onlardan satin alabilir. ornegin, yarismaciya guvenecek ve yarismacinin da sozune guvenebilecegi biri, diyelim ki zengin amcasi, reklam arasinda yarismaciyi arayip "kutuyu actirirsan sana 250 bin verecegim ama icindeki odul benim olacak" desin. o durumda, yarismaci 250 binden daha dusuk bir teklifi asla kabul etmez. tabii, bu kadar buyuk para soz konusu oldugunda, boyle baglayiciligi olmayan sozlu anlasmalarin gerceklesmesi zor. yarismacilarin herhangi bir kisi ya da kurumla baglayiciligi olan yasal kontratlar yapmalarinin onune gececek onlemleri de yapimcilar ya da avukatlari dusunmuslerdir herhalde.
29 Mart 2009 Pazar
13 Mart 2009 Cuma
Futbolcunun Penaltı Anındaki Stratejisi
bir futbol maci dusunelim. bir takim penalti kazanmis. topun basindaki futbolcu topu uc yere vurabilir: sola, saga ve ortaya. diyelim ki, karsi takimin kalecisi topun gelecegi noktayi dogru tahmin ederse, penaltiyi kesin kurtarir. ama yanlis koseye atlarsa golu yer. bu durumda penaltici topu vuracagi ve kaleci atlayacagi koseleri nasil secerler? (ele alacagimiz konunun daha anlasilabilir olmasi acisindan, gercek bir penalti atisindaki durumu biraz basitlestiriyoruz. sonucta, ana hatlariyla penaltilarda durum buna benzer.)
en temel duzeyde oyun teorisi bilgisine sahip okuyucularimiz, bunun oyun teorisinde sifir toplamli oyun olarak adlandirilan bir durum oldugunu fark etmislerdir. boyle oyunlarda, biri kazanirsa digeri kaybeder. o yuzden de rasyonel oyuncular, yapacaklari tercihin diger oyuncu icin belirsiz olmasini isterler. bir ornekle aciklayalim. mesela, penalticinin favori kosesi sol olsun ve penaltilarin yarisini bu koseye atsin. (diger zamanlarda da penaltici topu diger iki noktaya esit olasilikla atsin.) eger kaleci bunu biliyorsa, yapacagi sey penalticinin favori kosesine atlamak olacaktir. boylelikle yuzde elli ihtimalle penaltiyi kurtarir. (diger koselere atlamasi ya da rastgele bir secim yapmasi durumunda ise penaltiyi kurtarma ihtimali daha dusuktur.) ote yandan bu, penaltici icin, penaltinin yuzde elli ihtimalle kacmasi anlamina gelir. oysa penaltici bundan daha iyisini elde edebilir. ornegin, herhangi bir favori kosesi olmasa ve secimini rastgele yapsa, sadece ucte bir olasilikla penaltiyi kacirir.
ele aldigimiz basit oyunda, nash dengesi denen, iki oyuncunun da karsi tarafin stratejisine verecek daha iyi bir cevabinin olmadigi denge noktasi, hem kalecinin hem futbolcunun kararlarini tamamen rastgele vermesidir. yani, teknik olarak, nash dengesi, oyuncularin her secenegi ucte bir olasilikla sececekleri bir karma strateji profilidir. diger tum durumlarda, yukarida ornekledigimiz gibi, bir oyuncu digerine avantaj saglar.
simdi bu aciklama insana (en azindan senelerdir bunlarla hasir nesir olduktan sonra bana) cok mantikli geliyor. ama acaba gercekte karma strateji nash dengesi diye bir sey var mi? insanlar hayatta boyle bir durumla karsilastiklarinda, stratejilerini karip nash dengesini mi oynuyorlar? yoksa baska bir sey mi yapiyorlar? bu sorulara cevap arayan deneysel calismalar var. kimisi teoriyi destekliyor, kimisi desteklemiyor. ama benim ilgimi, laboratuvar ortaminda yapilan kontrollu deneylerden ziyade, gercek hayattan cikan dogal deneyler daha cok cekiyor. karma strateji nash dengesinin ampirik olarak sinanmasi konusunda da, boyle bir calisma dikkatimi cekti. sozunu edecegim calisma, chiappori, levitt ve groseclose adli, ikisi chicago'dan biri stanford'dan uc iktisatci tarafindan yapilmis; ve iktisat dunyasinin saygin dergilerinden american economic review'de yayinlanmis.
ne yapmis bu insanlar? italya ve fransa liglerinde uc sezon boyunca atilan 459 penalti atisini veri olarak alip penaltici ve kalecinin tercihlerinde karma strateji nash dengesinin var olup olmadigini arastirmislar. penalti atislarini ciddi ciddi incelemisler yani. peki neden penalti atisini secmisler? cunku, penalti atisi cok basit bir durum ve "matching pennies" denen standart sifir toplamli oyun sablonuna cuk diye oturuyor. ayrica futbol istatistiklerini elde etmek cok kolay. yani, veri sorunu yok. bir de, liglerde yer alan takimlar rakiplerini yakindan takip ettiklerinden, oyuncularin birbirlerini iyi taniyacaklari dusunulmus. bu durumda, yukarida ornegini verdigim turden, optimal davranislarin ortaya cikip cikmayacagi daha kolay test edilebilir.
calismanin teorik kismi, bizim ornegin biraz daha gercekci bir versiyonu. arastirmacilar, futbolda otorite kabul edilen insanlara danisip teorilerini zenginlestirmisler. ornegin, kaleci dogru yone atlasa bile penalti gol olabilir; ya da tersine, kaleci yanlis yere atlar ama gol olmaz. bunlarin olasiliklarinin, orta nokta ve koselere gore farklilik gosterdigini; bu olasiliklarin penaltiyi atanin hangi ayagini kullandigina gore degistigini falan hesaba katmislar. bunlari dikkate alinca, yapilan tercihler sonrasinda ortaya cikacak getiriler (burada gol olasiligi) daha gercekci olarak kurulmus. o yuzden oyun temelde ayni olsa da, nash dengesi, bizim basitlestirilmis oyunumuzun dengesinden daha farkli. mesela bu oyunda, ortaya atilan topun kaleci koseye atladiginda gol olma ihtimali yeterince dusukse, nash dengesinde oyuncular ortayi secmiyorlar. stratejilerini sol ve sag koseler arasinda kararak kuruyorlar.
teorik modelin tahminleri, daha sonra bir ekonometrik lineer olasilik modeli kullanilarak sinanmis. teknik ayrintilari gecersek, ortaya konan bazi temel bulgular soyle: her seyden once, penalti atilirken, kaleci ve penalticinin o andaki tercihlerinin birbirine bagli olduguna iliskin bir delile rastlanmamis. yani, tercihlerin es zamanli yapildigi varsayimi gecerli. ancak kalecinin atlayacagi kose, penalticinin daha onceki maclarda penalti attigi koseyle istatistiksel olarak iliskili cikmis. yani, tahmin ettigimiz gibi, kaleciler penalticinin hangi noktalara topu vurdugunu takip ediyorlar. ote yandan, futbolcularin, kalecilerin nereye atlayacagini takip ettiklerine iliskin bir delil bulunamamis. asil onemlisi, sonuclar, penaltici topu nereye atarsa atsin ve kaleci hangi koseye atlarsa atlasin gol olma ihtimalinin sonucta ayni oldugunu destekliyor. bu da oyuncularin karma strateji nash dengelerini kullandiklari yonunde bir kanit. (bunun anlami, nash dengesinin gerektirdigi gibi, oyuncular baska stratejiler secip kazanc saglayamiyorlar.)
makalede teknik bazi zorluklar nedeniyle bazi sonuclarin cok guclu olmadigi uyarisi yapilmis. ama genel olarak bulgular, penalti atislari sirasinda futbolcu davranislarinin oyun teorisinin temel prensipleriyle uyumlu oldugunu soyluyor. bu da teorik calismalarda standart kabul edilen bir varsayimin gercek dunyadan bir ornekle desteklenmesi acisindan onemli.
calismayi merak edenler ve detayli olarak incelemek isteyenler icin, makalenin kunyesi su:
chiappori, p.-a., s. levitt, and t. groseclose. 2002. “testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: the case of penalty kicks in soccer.” american economic review 92 (september): 1138-1151.
notlar: 1. bu yazida sifir toplamli oyunlardan bahsettik ve boyle bir oyun ele aldik. ancak, aslinda karma stratejilerin, sadece sifir toplamli oyunlarda degil, oyun teorisinin genelinde cok onemli yeri var.
2. bir de, levitt, freakonomics adli cok satan populer iktisat kitabinin yazarlarindan bir olan steven levitt. ben okumadim, ama methini duyuyorum o kitabin da.
en temel duzeyde oyun teorisi bilgisine sahip okuyucularimiz, bunun oyun teorisinde sifir toplamli oyun olarak adlandirilan bir durum oldugunu fark etmislerdir. boyle oyunlarda, biri kazanirsa digeri kaybeder. o yuzden de rasyonel oyuncular, yapacaklari tercihin diger oyuncu icin belirsiz olmasini isterler. bir ornekle aciklayalim. mesela, penalticinin favori kosesi sol olsun ve penaltilarin yarisini bu koseye atsin. (diger zamanlarda da penaltici topu diger iki noktaya esit olasilikla atsin.) eger kaleci bunu biliyorsa, yapacagi sey penalticinin favori kosesine atlamak olacaktir. boylelikle yuzde elli ihtimalle penaltiyi kurtarir. (diger koselere atlamasi ya da rastgele bir secim yapmasi durumunda ise penaltiyi kurtarma ihtimali daha dusuktur.) ote yandan bu, penaltici icin, penaltinin yuzde elli ihtimalle kacmasi anlamina gelir. oysa penaltici bundan daha iyisini elde edebilir. ornegin, herhangi bir favori kosesi olmasa ve secimini rastgele yapsa, sadece ucte bir olasilikla penaltiyi kacirir.
ele aldigimiz basit oyunda, nash dengesi denen, iki oyuncunun da karsi tarafin stratejisine verecek daha iyi bir cevabinin olmadigi denge noktasi, hem kalecinin hem futbolcunun kararlarini tamamen rastgele vermesidir. yani, teknik olarak, nash dengesi, oyuncularin her secenegi ucte bir olasilikla sececekleri bir karma strateji profilidir. diger tum durumlarda, yukarida ornekledigimiz gibi, bir oyuncu digerine avantaj saglar.
simdi bu aciklama insana (en azindan senelerdir bunlarla hasir nesir olduktan sonra bana) cok mantikli geliyor. ama acaba gercekte karma strateji nash dengesi diye bir sey var mi? insanlar hayatta boyle bir durumla karsilastiklarinda, stratejilerini karip nash dengesini mi oynuyorlar? yoksa baska bir sey mi yapiyorlar? bu sorulara cevap arayan deneysel calismalar var. kimisi teoriyi destekliyor, kimisi desteklemiyor. ama benim ilgimi, laboratuvar ortaminda yapilan kontrollu deneylerden ziyade, gercek hayattan cikan dogal deneyler daha cok cekiyor. karma strateji nash dengesinin ampirik olarak sinanmasi konusunda da, boyle bir calisma dikkatimi cekti. sozunu edecegim calisma, chiappori, levitt ve groseclose adli, ikisi chicago'dan biri stanford'dan uc iktisatci tarafindan yapilmis; ve iktisat dunyasinin saygin dergilerinden american economic review'de yayinlanmis.
ne yapmis bu insanlar? italya ve fransa liglerinde uc sezon boyunca atilan 459 penalti atisini veri olarak alip penaltici ve kalecinin tercihlerinde karma strateji nash dengesinin var olup olmadigini arastirmislar. penalti atislarini ciddi ciddi incelemisler yani. peki neden penalti atisini secmisler? cunku, penalti atisi cok basit bir durum ve "matching pennies" denen standart sifir toplamli oyun sablonuna cuk diye oturuyor. ayrica futbol istatistiklerini elde etmek cok kolay. yani, veri sorunu yok. bir de, liglerde yer alan takimlar rakiplerini yakindan takip ettiklerinden, oyuncularin birbirlerini iyi taniyacaklari dusunulmus. bu durumda, yukarida ornegini verdigim turden, optimal davranislarin ortaya cikip cikmayacagi daha kolay test edilebilir.
calismanin teorik kismi, bizim ornegin biraz daha gercekci bir versiyonu. arastirmacilar, futbolda otorite kabul edilen insanlara danisip teorilerini zenginlestirmisler. ornegin, kaleci dogru yone atlasa bile penalti gol olabilir; ya da tersine, kaleci yanlis yere atlar ama gol olmaz. bunlarin olasiliklarinin, orta nokta ve koselere gore farklilik gosterdigini; bu olasiliklarin penaltiyi atanin hangi ayagini kullandigina gore degistigini falan hesaba katmislar. bunlari dikkate alinca, yapilan tercihler sonrasinda ortaya cikacak getiriler (burada gol olasiligi) daha gercekci olarak kurulmus. o yuzden oyun temelde ayni olsa da, nash dengesi, bizim basitlestirilmis oyunumuzun dengesinden daha farkli. mesela bu oyunda, ortaya atilan topun kaleci koseye atladiginda gol olma ihtimali yeterince dusukse, nash dengesinde oyuncular ortayi secmiyorlar. stratejilerini sol ve sag koseler arasinda kararak kuruyorlar.
teorik modelin tahminleri, daha sonra bir ekonometrik lineer olasilik modeli kullanilarak sinanmis. teknik ayrintilari gecersek, ortaya konan bazi temel bulgular soyle: her seyden once, penalti atilirken, kaleci ve penalticinin o andaki tercihlerinin birbirine bagli olduguna iliskin bir delile rastlanmamis. yani, tercihlerin es zamanli yapildigi varsayimi gecerli. ancak kalecinin atlayacagi kose, penalticinin daha onceki maclarda penalti attigi koseyle istatistiksel olarak iliskili cikmis. yani, tahmin ettigimiz gibi, kaleciler penalticinin hangi noktalara topu vurdugunu takip ediyorlar. ote yandan, futbolcularin, kalecilerin nereye atlayacagini takip ettiklerine iliskin bir delil bulunamamis. asil onemlisi, sonuclar, penaltici topu nereye atarsa atsin ve kaleci hangi koseye atlarsa atlasin gol olma ihtimalinin sonucta ayni oldugunu destekliyor. bu da oyuncularin karma strateji nash dengelerini kullandiklari yonunde bir kanit. (bunun anlami, nash dengesinin gerektirdigi gibi, oyuncular baska stratejiler secip kazanc saglayamiyorlar.)
makalede teknik bazi zorluklar nedeniyle bazi sonuclarin cok guclu olmadigi uyarisi yapilmis. ama genel olarak bulgular, penalti atislari sirasinda futbolcu davranislarinin oyun teorisinin temel prensipleriyle uyumlu oldugunu soyluyor. bu da teorik calismalarda standart kabul edilen bir varsayimin gercek dunyadan bir ornekle desteklenmesi acisindan onemli.
calismayi merak edenler ve detayli olarak incelemek isteyenler icin, makalenin kunyesi su:
chiappori, p.-a., s. levitt, and t. groseclose. 2002. “testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: the case of penalty kicks in soccer.” american economic review 92 (september): 1138-1151.
notlar: 1. bu yazida sifir toplamli oyunlardan bahsettik ve boyle bir oyun ele aldik. ancak, aslinda karma stratejilerin, sadece sifir toplamli oyunlarda degil, oyun teorisinin genelinde cok onemli yeri var.
2. bir de, levitt, freakonomics adli cok satan populer iktisat kitabinin yazarlarindan bir olan steven levitt. ben okumadim, ama methini duyuyorum o kitabin da.
Kaydol:
Kayıtlar (Atom)