13 Mart 2009 Cuma

Futbolcunun Penaltı Anındaki Stratejisi

bir futbol maci dusunelim. bir takim penalti kazanmis. topun basindaki futbolcu topu uc yere vurabilir: sola, saga ve ortaya. diyelim ki, karsi takimin kalecisi topun gelecegi noktayi dogru tahmin ederse, penaltiyi kesin kurtarir. ama yanlis koseye atlarsa golu yer. bu durumda penaltici topu vuracagi ve kaleci atlayacagi koseleri nasil secerler? (ele alacagimiz konunun daha anlasilabilir olmasi acisindan, gercek bir penalti atisindaki durumu biraz basitlestiriyoruz. sonucta, ana hatlariyla penaltilarda durum buna benzer.)

en temel duzeyde oyun teorisi bilgisine sahip okuyucularimiz, bunun oyun teorisinde sifir toplamli oyun olarak adlandirilan bir durum oldugunu fark etmislerdir. boyle oyunlarda, biri kazanirsa digeri kaybeder. o yuzden de rasyonel oyuncular, yapacaklari tercihin diger oyuncu icin belirsiz olmasini isterler. bir ornekle aciklayalim. mesela, penalticinin favori kosesi sol olsun ve penaltilarin yarisini bu koseye atsin. (diger zamanlarda da penaltici topu diger iki noktaya esit olasilikla atsin.) eger kaleci bunu biliyorsa, yapacagi sey penalticinin favori kosesine atlamak olacaktir. boylelikle yuzde elli ihtimalle penaltiyi kurtarir. (diger koselere atlamasi ya da rastgele bir secim yapmasi durumunda ise penaltiyi kurtarma ihtimali daha dusuktur.) ote yandan bu, penaltici icin, penaltinin yuzde elli ihtimalle kacmasi anlamina gelir. oysa penaltici bundan daha iyisini elde edebilir. ornegin, herhangi bir favori kosesi olmasa ve secimini rastgele yapsa, sadece ucte bir olasilikla penaltiyi kacirir.

ele aldigimiz basit oyunda, nash dengesi denen, iki oyuncunun da karsi tarafin stratejisine verecek daha iyi bir cevabinin olmadigi denge noktasi, hem kalecinin hem futbolcunun kararlarini tamamen rastgele vermesidir. yani, teknik olarak, nash dengesi, oyuncularin her secenegi ucte bir olasilikla sececekleri bir karma strateji profilidir. diger tum durumlarda, yukarida ornekledigimiz gibi, bir oyuncu digerine avantaj saglar.

simdi bu aciklama insana (en azindan senelerdir bunlarla hasir nesir olduktan sonra bana) cok mantikli geliyor. ama acaba gercekte karma strateji nash dengesi diye bir sey var mi? insanlar hayatta boyle bir durumla karsilastiklarinda, stratejilerini karip nash dengesini mi oynuyorlar? yoksa baska bir sey mi yapiyorlar? bu sorulara cevap arayan deneysel calismalar var. kimisi teoriyi destekliyor, kimisi desteklemiyor. ama benim ilgimi, laboratuvar ortaminda yapilan kontrollu deneylerden ziyade, gercek hayattan cikan dogal deneyler daha cok cekiyor. karma strateji nash dengesinin ampirik olarak sinanmasi konusunda da, boyle bir calisma dikkatimi cekti. sozunu edecegim calisma, chiappori, levitt ve groseclose adli, ikisi chicago'dan biri stanford'dan uc iktisatci tarafindan yapilmis; ve iktisat dunyasinin saygin dergilerinden american economic review'de yayinlanmis.

ne yapmis bu insanlar? italya ve fransa liglerinde uc sezon boyunca atilan 459 penalti atisini veri olarak alip penaltici ve kalecinin tercihlerinde karma strateji nash dengesinin var olup olmadigini arastirmislar. penalti atislarini ciddi ciddi incelemisler yani. peki neden penalti atisini secmisler? cunku, penalti atisi cok basit bir durum ve "matching pennies" denen standart sifir toplamli oyun sablonuna cuk diye oturuyor. ayrica futbol istatistiklerini elde etmek cok kolay. yani, veri sorunu yok. bir de, liglerde yer alan takimlar rakiplerini yakindan takip ettiklerinden, oyuncularin birbirlerini iyi taniyacaklari dusunulmus. bu durumda, yukarida ornegini verdigim turden, optimal davranislarin ortaya cikip cikmayacagi daha kolay test edilebilir.

calismanin teorik kismi, bizim ornegin biraz daha gercekci bir versiyonu. arastirmacilar, futbolda otorite kabul edilen insanlara danisip teorilerini zenginlestirmisler. ornegin, kaleci dogru yone atlasa bile penalti gol olabilir; ya da tersine, kaleci yanlis yere atlar ama gol olmaz. bunlarin olasiliklarinin, orta nokta ve koselere gore farklilik gosterdigini; bu olasiliklarin penaltiyi atanin hangi ayagini kullandigina gore degistigini falan hesaba katmislar. bunlari dikkate alinca, yapilan tercihler sonrasinda ortaya cikacak getiriler (burada gol olasiligi) daha gercekci olarak kurulmus. o yuzden oyun temelde ayni olsa da, nash dengesi, bizim basitlestirilmis oyunumuzun dengesinden daha farkli. mesela bu oyunda, ortaya atilan topun kaleci koseye atladiginda gol olma ihtimali yeterince dusukse, nash dengesinde oyuncular ortayi secmiyorlar. stratejilerini sol ve sag koseler arasinda kararak kuruyorlar.

teorik modelin tahminleri, daha sonra bir ekonometrik lineer olasilik modeli kullanilarak sinanmis. teknik ayrintilari gecersek, ortaya konan bazi temel bulgular soyle: her seyden once, penalti atilirken, kaleci ve penalticinin o andaki tercihlerinin birbirine bagli olduguna iliskin bir delile rastlanmamis. yani, tercihlerin es zamanli yapildigi varsayimi gecerli. ancak kalecinin atlayacagi kose, penalticinin daha onceki maclarda penalti attigi koseyle istatistiksel olarak iliskili cikmis. yani, tahmin ettigimiz gibi, kaleciler penalticinin hangi noktalara topu vurdugunu takip ediyorlar. ote yandan, futbolcularin, kalecilerin nereye atlayacagini takip ettiklerine iliskin bir delil bulunamamis. asil onemlisi, sonuclar, penaltici topu nereye atarsa atsin ve kaleci hangi koseye atlarsa atlasin gol olma ihtimalinin sonucta ayni oldugunu destekliyor. bu da oyuncularin karma strateji nash dengelerini kullandiklari yonunde bir kanit. (bunun anlami, nash dengesinin gerektirdigi gibi, oyuncular baska stratejiler secip kazanc saglayamiyorlar.)

makalede teknik bazi zorluklar nedeniyle bazi sonuclarin cok guclu olmadigi uyarisi yapilmis. ama genel olarak bulgular, penalti atislari sirasinda futbolcu davranislarinin oyun teorisinin temel prensipleriyle uyumlu oldugunu soyluyor. bu da teorik calismalarda standart kabul edilen bir varsayimin gercek dunyadan bir ornekle desteklenmesi acisindan onemli.

calismayi merak edenler ve detayli olarak incelemek isteyenler icin, makalenin kunyesi su:

chiappori, p.-a., s. levitt, and t. groseclose. 2002. “testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: the case of penalty kicks in soccer.” american economic review 92 (september): 1138-1151.


notlar: 1. bu yazida sifir toplamli oyunlardan bahsettik ve boyle bir oyun ele aldik. ancak, aslinda karma stratejilerin, sadece sifir toplamli oyunlarda degil, oyun teorisinin genelinde cok onemli yeri var.

2. bir de, levitt, freakonomics adli cok satan populer iktisat kitabinin yazarlarindan bir olan steven levitt. ben okumadim, ama methini duyuyorum o kitabin da.

3 yorum:

tuncay dedi ki...

daha sık yazsanız biz de okusak güzelce:)

ercan dedi ki...

yaw birader bi penalti atisi anlatacaksin , yani futboldan girmis , iktisatla devam etmis , arada psikoloji , sosyoloji ye kaymis en sonunda da oyun teorisiyle bitirmissin. yillardir futbol oynayan biri olarak( ingiltere`de , futbolun anavataninda) bu seyleri biz futbolcular dusunmeyiz o topun basina geldigimizde. ne dusunuruz , karsimizda bir kaleci vardir ve uc diregin arasina sokacagimiz bir top ve de yuzlerce seyirci. gelirsin topa dogru , secersin koseni ve vurursun topa , bu kadar basir . take it easy mate....

dr jekyll dedi ki...

soyle aciklayayim ercan bey. orta yaparken ya da sut cekerken topun neden falso aldigini da dusunmezsiniz, ama topun o hareketinin altinda ne fizik kurallari yatar. baska bir yerde, futbola merakli bir fizikci belki onu da acikliyordur. tabii, bunu bilmenin futbol oynamaya bir faydasi olmaz, ama insanda merak uyandirir ve fizik ogrenmeyi eglenceli kilabilir. bizimkisi de biraz o hesap.

ayrica, "teorik modelin tahminleri..." diye baslayan paragrafi bir daha okursaniz, sizin penalti atarkenki davranisiz, bahsettigim calismanin sonuclariyla tutarli gorunuyor. bir de kaleci arkadaslariniza sorun isterseniz, rakip takimlarin penalticilarinin favori koselerini takip ediyorlar mi?